Ejemplo de Empuje y Flotación

Ejemplo de Empuje y Flotación

1.- Un barco, con los costados verticales a la altura de la línea de flotación, pesa 4000 toneladas y en agua salada (γ = 1.025 kg/m³) tiene un calado de 6.6m. Al descargar 200 toneladas la profundidad de inmersión disminuye a 6.3m. ¿Cuál será el calado “d” del barco en agua dulce? (calado = Altura Sumergida)

Como se desconoce la forma de la parte del barco sumergido en el agua, es preferible resolver el problema a partir de los volúmenes desplazados.

En disminuye el calado en .3m cuando se reduce el peso en:

200,000 kg = γ ( v ) = 1025 kg/m³ ( A[.3m] )

Donde “v” representa el volumen entre los calados 6.6m y 6.3m y ( A [.3m] ) representa el área de la sección recta a la altura de la línea de agua por .3m, es decir, el mismo volumen “v”. Por tanto:

V= ( A[.3m] ) = 200,000 kg / 1025( kg/m³ ) = 195m³/.3m _{de profundidad} = 650m³/m _{de profundidad}

Sabemos que:

El empuje F_b = γ (Volumen del líquido desplazado).

Por tanto:

F_b / γ = volumen del líquido desplazado

La diferencia entre los volúmenes desplazados en agua dulce y en agua salada, puede expresarse como:

[ ( 3,800,000kg ) / 1000( kg/m³ ) ] – ( 3,800,000 kg )/ 1025[ kg/m³ ] ) = 650 ( m³/m_profundidad ) y

Y = .154m

Donde “y” son los metros de profundidad para determinado volumen.

Entonces el calado es = 6.3 + .154 = 6.454m

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Fuerzas en una Superficie Curva Sumergida

Distribución de la Fuerza Sobre una Superficie Curva Sumergida

Para calcular la fuerza resultante sobre la superficie curva, debemos calcular los componentes de la fuerza (horizontal y vertical).

Componente Horizontal

La pared sólida vertical de la izquierda ejerce fuerzas horizontales sobre el fluido que está en contacto con ella en reacción de las fuerzas debidas a la presión del fluido. Esta parte del sistema se comporta de igual manera que las paredes verticales estudiadas anteriormente. La fuerza resultante F₁ actúa a una distancia de la parte inferior de la pared.

La fuerza F_2a ubicada en el lado derecho de la parte superior hasta una profundidad de h es igual a F₁ en magnitud y actúa en dirección opuesta. Por lo tanto, no tiene ningún efecto sobre la superficie curva.

Al sumar las fuerzas presentes en la dirección pueden horizontal puede ver que la F_H debe ser igual a la F_2b que actúa sobre la parte inferior del lado derecho. El área en la que actúa F_2b es la proyección de la superficie curva sobre un plano vertical.

La magnitud y la ubicación de F_2b pueden calcularse utilizando los procedimientos desarrollados para las superficies planas.

F_2b = γ (h_c) A

Donde h_c representa la profundidad hasta el centroide del área proyectada. Para el tipo de superficie que se muestra en la figura anterior, el área proyectada es un rectángulo. Si a la altura del rectángulo se le denomina como s, podemos ver que:

h_c =  h + s/2.

Además el área es sw, donde w es la anchura superficial de la curva. Entonces:

F_2b = F_H = γ s w (h+s/2)

La ubicación de F_2b es el centro de presión del área proyectada. De nuevo, al usar principios desarrollados anteriormente se obtiene:

h_p - h_c = I_C / (h_CA)

Para el área rectangular proyectada, sin embargo:

I_c = ws³/12

A = sw

Entonces:

h_p - h_c = s²/(12h_c)

Componente Vertical

La componente vertical de la fuerza ejercida por la superficie curva sobre el fluido se puede encontrar mediante la suma de las fuerzas presentes en la direcci_v actúa hacia arriba. Entonces el peso y F_v deben ser iguales entre sí en magnitud. El peso del fluido es simplemente el producto de su peso es específico por el volumen del cuerpo de fluido aislado. El volumen es el producto del área de la sección transversal del volumen que se muestra en la figura anterior por la longitud de interés w. Es decir:

ón vertical. Sólo el peso del fluido actúa hacia abajo, y sólo la componente vertical F

F_v= γ (V) = γ A w

Fuerza Resultante

La fuerza resultante es:

F_R = √F_H²+F_V²

Y el ángulo de la fuerza resultante con respecto a la horizontal se encuentra a partir de:

Arc tan(F_v/F_H) = ʘ

Resumen del Procedimiento

1.- Aísle el volumen del fluido que está encima de la superficie.

2.- Calcule el peso del volumen aislado.

3.- La magnitud del componente vertical de la fuerza resultante es igual al peso del volumen aislado. Actúa en la línea con el centroide del volumen aislado.

4.- Dibuje una proyección de la superficie curva sobre un plano vertical y determine su altura, llamada s.

5.- Calcule la profundidad hasta el centroide del área proyectada a partir de:

h_c = h + s/2

Donde h representa la profundidad hasta la parte superior del área proyectada.

6.- Calcule la magnitud del componente horizontal con base en:

F_H = γ s w (h+s/2) = γ s w (h_c)

7.- Calcule la profundidad hasta la línea de acción de la componente horizontal a partir de:

h_p = h_c + s²/(12h_c)

8.- Calcule la fuerza resultante con base en:

F_R = √F_H²+F_V²

9.- Calcule el ángulo de inclinación de la fuerza en relación con la componente horizontal a partir de:

Arc tan(F_v/F_H) = ʘ

10.- Mostrar la fuerza resultante en el diagrama.

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Flotabilidad y Empuje

Flotabilidad y Empuje

La flotabilidad es la tendencia de un fluido a ejercer una fuerza de soporte sobre un cuerpo colocado en el fluido.

La estabilidad se refiere a la capacidad que tiene un cuerpo, cuando está en un fluido, de regresar a su posición original después de ser inclinado con respecto a un eje horizontal.

La fuerza de flotación actúa verticalmente hacia arriba a través del centroide del volumen desplazado.

Fuerza de Flotación

F_b = γ_f V_d

F_b = Fuerza de flotación.

γ_f = Peso específico del fluido.

V_d = Volumen desplazado del fluido.

γ_f  = (D.R)(g)

γ_f = Peso específico del Fluido

D.R = Densidad Relativa o Gravedad Específica

g = Gravedad

Procedimiento de solución para problemas de flotabilidad

1.- Determinar el objetivo de la solución del problema. ¿Se desea de

terminar una fuerza, un peso, un volumen o un peso específico?

2.- Dibujar un diagrama de cuerpo libre del objeto presente en el fluido. Muestre todas las fuerzas que actúan sobre el cuerpo libre en la dirección vertical, incluyendo el peso del cuerpo, la fuerza de flotación y todas las fuerzas externas. Si no conoce la dirección de alguna fuerza, suponga lo más probable y muéstrela sobre el cuerpo libre.

3.- Escriba la ecuación de equilibrio estático en la dirección vertical, ∑F_y=0, suponiendo que la dirección positiva es hacia arriba.

4.- Despeje la fuerza, el peso, el volumen o el peso específico que se desea encontrar; recuerde los siguientes conceptos:

a) La fuerza de flotación se calcula a partir de F_b = γ_fV_d.

b) El peso de un objeto sólido es el producto de su volumen total por su peso específico; es decir:

w = γV

w = Peso del Objeto

γ = Peso específico del Objeto

V = Volumen del Objeto

c) Un objeto con un peso específico promedio mayor que el del fluido tenderá a hundirse porque w>F_b con el objeto sumergido.

d) Un objeto con un peso específico promedio menor que el del fluido tenderá a flotar porque w<F_b con el objeto sumergido.

e) La flotabilidad neutra se produce cuando un cuerpo se mantiene en una posición dada, independientemente de lo sumergido que esté en un fluido. Un objeto cuyo peso específico promedio es igual al del fluido es neutralmente flotante.

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Mecánica de Fluidos

Áreas Planas Sumergidas

En esta figura se muestra un tanque que tiene una ventana rectangular en una pared inclinada. Las dimensiones estándar y los símbolos utilizados en el procedimiento descrito más adelante se muestran en la figura y se definen de la siguiente manera:

F_R = Fuerza resultante sobre el área debida a la presión del fluido.

El centro de presión del área es el punto donde se considera que actúa la fuerza resultante.

El centroide del área es el punto en el que el área se balancearía si fuera suspendida en otras palabras el centro de masa o de gravedad de un cuerpo sólido.

S = Línea perpendicular a la línea de inclinación.

ʘ = Ángulo de inclinación del área.

h_c = Profundidad del fluido desde la superficie libre hasta el centroide del área.

h_p = Profundidad del fluido desde la superficie libre hasta el centro de presión.

L_c = Distancia desde el nivel de la superficie libre del fluido hasta el centroide del área, medida a lo largo del ángulo de inclinación del área.

L_p = Distancia desde el nivel de la superficie libre del fluido hasta el centro de presión del área, medida a lo largo del ángulo de inclinación del área.

B,H = Dimensiones del área de la figura.

Procedimiento para calcular la fuerza ejercida sobre un área plana sumergida

1.- Identificar el punto donde el ángulo de inclinación (ʘ) del área de interés interseca al nivel de la superficie libre del fluido. Esto puede requerir extender la superficie angulada o línea superficial del fluido. Este punto se llamará S.

2.- Localice el centroide del área a partir de su geometría.

(a continuación se presenta una tabla con los momentos de Inercia para figuras geométricas simples)

Figura	Diagrama	Momento de Inercia	Centroide
Rectángulo		Iz’ = b(h3)/12 Iy’ = b3(h)/12 Iz = b(h3)/3 Iy = b3(h)/3	Xg = b/2 Yg = h/2
Triángulo		Iz’ = b(h3)/36 Iz = b(h3)/12	Xg = b/3 Yg = h/3
Círculo		Iz = IY = (πr4)/4	G = R G = Radio
½ Círculo		Iz = Iy = (πr4)/8	Yg = 4R/3π Xg = R
¼ de Círculo		Iz = IY = (πr4)/16	Yg = 4R/3π
Elipse		Iz = (π(a)b3)/4 Iz = (π(a3)b)/4	Yg = b Xg = a
Trapezoide		Ig = Z3(b2+4bB+B2)/36(b+B)	Yg=Z(b+2B)/3(b+B)

3.- Determina h_c como la distancia vertical desde el nivel de la superficie libre hasta el centroide del área.

4.- Determinar L_c como la distancia inclinada desde el nivel de la superficie libre hasta el centroide del área. Esta es la distancia de S hasta el centroide. Tenga en cuenta que h_c y L_c , se relacionan mediante: h_c = L_c senʘ.

5.- Calcule el área total A sobre la que se va a determinar la fuerza.

6.- Calcule la fuerza resultante a partir de:

F_R = γ (hc) A

γ = Peso Específico

7.- Calcule I_c , el momento de inercia del área alrededor de su eje centroidal.

8.- Calcule la ubicación del centro de presión a partir de:

L_p – L_c = I_c / L_c A

9.- Bosqueje la fuerza resultante que actúa en el centro de presión y es perpendicular al área.

10.- Muestre la dimensión L_p en un bosquejo en un dibujo. (Como en la imagen al inicio del documento)

11.- Dibuje las líneas de dimensión para L_c y L_p a partir de una línea de referencia trazada a través del punto S y perpendicular al ángulo de inclinación del área. (Como en la imagen al inicio del documento)

12.- Si desea calcular la profundidad vertical hasta el centro de presión h_p , se puede utilizar cualquiera de dos métodos.

Utilizando:

h_p = L_p Senʘ

O directamente a partir de:

h_p = h_c + [ (I_CSen²ʘ) / (h_c A) ]

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Principios Básicos

Mecánica de Fluidos

Conceptos Básicos

Presión: La cantidad escalar que se obtiene al dividir la magnitud de una fuerza ejercida de forma perpendicular sobre alguna superficie entre el área de la misma.

P = F/A

P =  Presión sobre el área específica. (Pa = N/m = Pascal)

F = Fuerza aplicada sobre el área específica. (N = Kg (m/s²) = Newton)

A = Área sobre el cual es aplicada la fuerza. (m = Metros)

Los fluidos se someten a grandes variaciones de presión de acuerdo con el tipo de sistema en el que se utilicen.

Ejemplo:

                                          

La leche en este vaso está a la misma presión que el aire presente por encima de ella, sería a 1 atm o 101 325 000 Pa.

Líquidos y Gases: Los fluidos pueden ser líquidos o gases.

1.- Los Gases son fácilmente compresibles.

2.- Los líquidos sólo son ligeramente compresibles.

Peso y Masa: Es necesario comprender las propiedades de los fluidos requiere de una cuidadosa distinción entre masa y peso.

La masa es aquella propiedad del cuerpo de un fluido que representa una medida de la inercia o la resistencia del fluido ante un cambio en su movimiento. También es una medida de la cantidad de fluido.

El peso es la cantidad que pesa el cuerpo de un fluido; es decir, la fuerza con la que el fluido es atraido hacia la Tierra por efecto de la gravedad.

w = m (g)

w = Peso

m = Masa

g = Gravedad

Propiedades de los Fluidos: Propiedades como: Peso específico, densidad, gravedad específica, viscosidad y tensión superficial.

Peso Específico: Es el vínculo existente entre el peso de una cierta sustancia y el volumen correspondiente.

γ = w/V

γ = Peso específico

w = Peso de la sustancia.

V = Volumen de la sustancia.

Densidad: Es la magnitud que refleja el vínculo que existe entre la masa de un cuerpo y su volumen.

ρ = m/V

ρ = Densidad.

m = Masa.

V = Volumen.

Gravedad Específica o Densidad Relativa:

a) Es la relación del peso específico de una sustancia sobre el peso específico del agua a 4°C.

b) Es la relación de la densidad de una sustancia sobre la densidad del agua a 4°C.

Tensión Superficial: Es la fuerza que actua tangencialmente por unidad de longitud en el borde de una superficie libre de un líquido en equilibrio que tiende a contraer dicha superficie. Las fuerzas cohesión entre moléculas de un líquido son las responsables.

Como se puede ver en la superficie de este líquido las fuerzas de cohesión son tangenciales y unen las moléculas generando una capa más resistente al resto del líquido.

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